306.第306章 非线性偏微分方程组降维问题
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第306章 非线性偏微分方程组降维问题
虽然常浩南的获奖让学校多了不少宣传口的工作要做，但唐林天自然也不会忘了前几天答应的事情。
没花几天功夫，学校里接的外网就已经可以访问那几个比较主流的学术数据库了。
常浩南从大概半年前，刚开始认真考虑编写一个全新的仿真建模软件时就非常清楚地意识到，多物理场，尤其是强耦合多物理场问题的研究，本质上是对非线性偏微分方程组的求解。
但这种事情，落实到工程领域的操作上，往往就不是一句话那么简单了。
尤其是考虑到现如今的超级计算机运算速度并不乐观的情况下。
绝大多数偏微分方程都没有办法求得解析解，至少短时间内，只能从数值解的方向下功夫。
很多在数学上十分具有美感的解法未必实用。
传统上对于非线性偏微分方程动态系统的降维主要采用基于变量离散的方法，典型的比如有限元法，有限体积法和有限差分法，堪称这一领域的御三家。
但也不是没有其它的思路。
就比如常浩南某天晚上在机房休息时，无意中看到的这篇论文。
尽管是应用数学领域的文章，但却发在了一份看上去毫无关系的化学工程领域期刊上。
Chemical Engineering Journal
一份在十几年后算是声名赫赫，但这功夫只是刚刚创刊，并不起眼的杂志。
之所以会吸引他点进去，并用每秒几Kb的速度下载下来，主要是因为摘要写得太有吸引力了。
“目前通用的有限差分法和有限元方法对非线性偏微分方程动态系统进行降维只能得到维数很高的常微分方程系统，在近四十年的时间里，基于变量分离的系统降维方法得到了飞速发展，在满足一定的条件下能避免基于空间离散方法带来的一些本质问题，将一类非线性偏微分方程动态系统降至较低的维数，便于快速分析计算、优化及主动控制器的实现，可以应用于对化学工程领域内常见的力热耦合问题进行数值分析……”
尽管涉及到的具体问题和飞行器设计风马牛不相及，但里面提到的力热耦合本来也是常浩南目前面对的最基础，也是最紧迫的问题。
这段摘要简直说到了他的心坎里。
他相信几个月之前，当卢育英在蓉城第一次看到自己那篇论文的时候，内心的通透感也就不外乎如此。
几分钟的下载时间从未如同现在这般漫长。
常浩南紧盯着屏幕上面一格一格的进度条，几乎在下载完成的一瞬间就点开了那份文档。
“众所周知，任何一个连续函数能被傅里叶级数序列的展开式近似表示，基于上述原理，非线性偏微分方程中的时空亲和变量，能够展开成一个无限维空间基函数集合和其对应的时间系数的级数和的形式：
X(z，t)=(i=1，∞)∑φi(z)xi(t)
其中xi(t)表示每个基函数φi(z)对应的时间系数……”
确实很基矗
时空变量分离技术并不是什么新鲜玩意，任何一本数学物理方法或者类似的教材上都能找到，只是一般认为适合使用分离变量法的偏微分方程应该具有一定的形式和特征，如线性、齐次、可分离、系数只依赖于一个变量等等，这极大地限制了此类方法的应用。
因此常浩南迅速略过了这部分内容，直接看向了第三节，往往也是正文的第一节：
为了详细和清楚地阐述非线性偏微分方程动态系统降维的方法，本小节釆用抛物型非线性偏微分方程系统作为对象进行阐述……
“来了１
看到感兴趣内容的他精神一振，就连刚刚的些许困意都瞬间烟消云散。
边界条件和初始条件分别为：
其中x(z，t)表示时空状态变量，且为定义在空间区域[a，b]上的无穷维希尔伯特空间上的连续函数。表示空间坐标，z∈[a，b]表示空间座标，为过程定义的实数域上的子空间，t∈[0，∞）表示时间变量……
……
最终，可以得到希尔伯特空间H（[a，b]）中上述非线性偏微分方程系统的表达形式：
x(z，t)/t=Ax(z，t)+Bu(z，t)+(x，z，t)
x(z，0)=x0(z)
下面给出两个仿真实例，分别是一维空间的无量纲Kuramoto-Sivashinsky方程，以及非等温管状反应器的温度与压力抄…
“嗯……有点东西……” 常浩南看到后面，内心了然地点了点头。
“总的来说。”
他从旁边的打印机里面抽出一张纸，开始自言自语地总结起来，
“首先，选择合适的空间正交基函数且采用时空分离技术对非线性偏微分方程动态系统进行时空变量分离，即将系统的时空親合变量在选定或求得的正交空间基函数上展开，将展开式代入原系统后结合非线性伽辽金方法……”
一个小时的时间很快在他的写写画画中过去了。
虽然文章中用于阐述理论的对象只是个非常简单的抛物型系统，但后面举出来的两个应用算例确实还算可以，配得上作者在摘要里面吹出来的牛逼。
这篇文章甚至值得投一个更高影响力的期刊，之所以出现在这里，大概率是因为作者和主编出自同一个学校，收到了约稿的邀请。
实际上，常浩南总结到最后，还发现了作者本人都没有写出来的部分。
文章里面的这套方法不仅可以应用于传热和流场计算，只要稍加修改，甚至可以用于处理传质问题和化学反应过程本身。
换句话说，化工生产过程涉及到的全部特征“三传一反”，都可以被囊括进去。
当然，没写出来未必是作者没发现，很可能是留着东西准备再发一篇文章出来……
“不过么……问题也还是有的。”
常浩南看着面前已经被写满的三张草稿纸。
虽然可以应用的领域非常广，但并不意味着这篇文章里提到的方法就是什么万能钥匙，可以直接搬到常浩南所需要的场景下面来。
“釆用特征函数为空间基函数结合权重残差方法对非线性偏微分方程动态系统进行降维可以得到有限维常微分方程动态系统来近似原系统的无穷维动态，但本质上还是采用线性手段近似，对于真正的强非线性问题而言仍然不够，可是如果在降维过程中采用别的空间基函数，如傅里叶序列函数和正交基函数等，又可能与非线性偏微分方程动态系统本身的特征毫无关联……”
想到这里，他侧过头看了一眼旁边摆着超算的另外一个房间。
在理论上当然没什么问题，不过真要是开始计算的话……
由于这个自己负责的计算中心还只是刚刚启用，因此目前用到它的项目不多，尽管如此，也已经让这台超算的负荷拉到一个不低的程度了。
如果搁在十年之后，按照文章里面的思路硬算未必不可行，但以如今国内的超算水平，恐怕算个相控阵雷达阵面的力热电耦合高低得花上几年时间……
有这时间都造个测试版本出来了。
肯定是不成的。
“如果采用平衡截断方法或者最优化方法呢……”
常浩南手中的笔尖重新开始在纸上滑动起来。
很快，第四页和第五页草稿纸也被写满。
机房中传来吱嘎吱嘎的设备运行声。
窗外的月亮从地平线爬到半空，又逐渐落下，最终迎来一轮朝阳。
“我知道了。”
(本章完)
第306章 非线性偏微分方程组降维问题
虽然常浩南的获奖让学校多了不少宣传口的工作要做，但唐林天自然也不会忘了前几天答应的事情。
没花几天功夫，学校里接的外网就已经可以访问那几个比较主流的学术数据库了。
常浩南从大概半年前，刚开始认真考虑编写一个全新的仿真建模软件时就非常清楚地意识到，多物理场，尤其是强耦合多物理场问题的研究，本质上是对非线性偏微分方程组的求解。
但这种事情，落实到工程领域的操作上，往往就不是一句话那么简单了。
尤其是考虑到现如今的超级计算机运算速度并不乐观的情况下。
绝大多数偏微分方程都没有办法求得解析解，至少短时间内，只能从数值解的方向下功夫。
很多在数学上十分具有美感的解法未必实用。
传统上对于非线性偏微分方程动态系统的降维主要采用基于变量离散的方法，典型的比如有限元法，有限体积法和有限差分法，堪称这一领域的御三家。
但也不是没有其它的思路。
就比如常浩南某天晚上在机房休息时，无意中看到的这篇论文。
尽管是应用数学领域的文章，但却发在了一份看上去毫无关系的化学工程领域期刊上。
Chemical Engineering Journal
一份在十几年后算是声名赫赫，但这功夫只是刚刚创刊，并不起眼的杂志。
之所以会吸引他点进去，并用每秒几Kb的速度下载下来，主要是因为摘要写得太有吸引力了。
“目前通用的有限差分法和有限元方法对非线性偏微分方程动态系统进行降维只能得到维数很高的常微分方程系统，在近四十年的时间里，基于变量分离的系统降维方法得到了飞速发展，在满足一定的条件下能避免基于空间离散方法带来的一些本质问题，将一类非线性偏微分方程动态系统降至较低的维数，便于快速分析计算、优化及主动控制器的实现，可以应用于对化学工程领域内常见的力热耦合问题进行数值分析……”
尽管涉及到的具体问题和飞行器设计风马牛不相及，但里面提到的力热耦合本来也是常浩南目前面对的最基础，也是最紧迫的问题。
这段摘要简直说到了他的心坎里。
他相信几个月之前，当卢育英在蓉城第一次看到自己那篇论文的时候，内心的通透感也就不外乎如此。
几分钟的下载时间从未如同现在这般漫长。
常浩南紧盯着屏幕上面一格一格的进度条，几乎在下载完成的一瞬间就点开了那份文档。
“众所周知，任何一个连续函数能被傅里叶级数序列的展开式近似表示，基于上述原理，非线性偏微分方程中的时空亲和变量，能够展开成一个无限维空间基函数集合和其对应的时间系数的级数和的形式：
X(z，t)=(i=1，∞)∑φi(z)xi(t)
其中xi(t)表示每个基函数φi(z)对应的时间系数……”
确实很基矗
时空变量分离技术并不是什么新鲜玩意，任何一本数学物理方法或者类似的教材上都能找到，只是一般认为适合使用分离变量法的偏微分方程应该具有一定的形式和特征，如线性、齐次、可分离、系数只依赖于一个变量等等，这极大地限制了此类方法的应用。
因此常浩南迅速略过了这部分内容，直接看向了第三节，往往也是正文的第一节：
为了详细和清楚地阐述非线性偏微分方程动态系统降维的方法，本小节釆用抛物型非线性偏微分方程系统作为对象进行阐述……
“来了１
看到感兴趣内容的他精神一振，就连刚刚的些许困意都瞬间烟消云散。
边界条件和初始条件分别为：
其中x(z，t)表示时空状态变量，且为定义在空间区域[a，b]上的无穷维希尔伯特空间上的连续函数。表示空间坐标，z∈[a，b]表示空间座标，为过程定义的实数域上的子空间，t∈[0，∞）表示时间变量……
……
最终，可以得到希尔伯特空间H（[a，b]）中上述非线性偏微分方程系统的表达形式：
x(z，t)/t=Ax(z，t)+Bu(z，t)+(x，z，t)
x(z，0)=x0(z)
下面给出两个仿真实例，分别是一维空间的无量纲Kuramoto-Sivashinsky方程，以及非等温管状反应器的温度与压力抄…
“嗯……有点东西……” 常浩南看到后面，内心了然地点了点头。
“总的来说。”
他从旁边的打印机里面抽出一张纸，开始自言自语地总结起来，
“首先，选择合适的空间正交基函数且采用时空分离技术对非线性偏微分方程动态系统进行时空变量分离，即将系统的时空親合变量在选定或求得的正交空间基函数上展开，将展开式代入原系统后结合非线性伽辽金方法……”
一个小时的时间很快在他的写写画画中过去了。
虽然文章中用于阐述理论的对象只是个非常简单的抛物型系统，但后面举出来的两个应用算例确实还算可以，配得上作者在摘要里面吹出来的牛逼。
这篇文章甚至值得投一个更高影响力的期刊，之所以出现在这里，大概率是因为作者和主编出自同一个学校，收到了约稿的邀请。
实际上，常浩南总结到最后，还发现了作者本人都没有写出来的部分。
文章里面的这套方法不仅可以应用于传热和流场计算，只要稍加修改，甚至可以用于处理传质问题和化学反应过程本身。
换句话说，化工生产过程涉及到的全部特征“三传一反”，都可以被囊括进去。
当然，没写出来未必是作者没发现，很可能是留着东西准备再发一篇文章出来……
“不过么……问题也还是有的。”
常浩南看着面前已经被写满的三张草稿纸。
虽然可以应用的领域非常广，但并不意味着这篇文章里提到的方法就是什么万能钥匙，可以直接搬到常浩南所需要的场景下面来。
“釆用特征函数为空间基函数结合权重残差方法对非线性偏微分方程动态系统进行降维可以得到有限维常微分方程动态系统来近似原系统的无穷维动态，但本质上还是采用线性手段近似，对于真正的强非线性问题而言仍然不够，可是如果在降维过程中采用别的空间基函数，如傅里叶序列函数和正交基函数等，又可能与非线性偏微分方程动态系统本身的特征毫无关联……”
想到这里，他侧过头看了一眼旁边摆着超算的另外一个房间。
在理论上当然没什么问题，不过真要是开始计算的话……
由于这个自己负责的计算中心还只是刚刚启用，因此目前用到它的项目不多，尽管如此，也已经让这台超算的负荷拉到一个不低的程度了。
如果搁在十年之后，按照文章里面的思路硬算未必不可行，但以如今国内的超算水平，恐怕算个相控阵雷达阵面的力热电耦合高低得花上几年时间……
有这时间都造个测试版本出来了。
肯定是不成的。
“如果采用平衡截断方法或者最优化方法呢……”
常浩南手中的笔尖重新开始在纸上滑动起来。
很快，第四页和第五页草稿纸也被写满。
机房中传来吱嘎吱嘎的设备运行声。
窗外的月亮从地平线爬到半空，又逐渐落下，最终迎来一轮朝阳。
“我知道了。”
(本章完)