第3章：山与平地
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展顾约等人吃过早饭，继续走走。远远看去，有座山。
几个人在山上放羊，很多的羊。有几座小山峰，山峰最高处放了几捆鲜嫩的草。山坡上却是草很少。
那几个人就在旁边观察。可能是放羊的人。
展顾约说：“他们在看什么？”
董趋说：“哪群羊可以先到山顶。先到山顶的羊，他们就注视着，然后低头记下来。”
展顾约说：“他们没有低头，一直就是站着的。。”
董趋说：“好吧，如果是我，看着羊爬山，就记下来是哪头先上山顶。”
展顾约说：“放羊不是看着羊吃草吗？看着哪头上山顶，有什么用？”
董趋说：“可能是山顶上草多呗。”
展顾约说：“那他知道是哪只羊先上去的吗？”
董趋说：“这记不住吧，每只羊都长得一样。”
展顾约说：“自己养的羊能分辨出来。”
刘莫芝说：“很多只，快有一百只了，我看。”
董趋说：“这是个农场吧。不用记录谁先上去。”
刘莫芝说：“如果是我，就记下来是哪头先上山顶。毕竟我喜欢分析数据。”
董趋说：“他们又不分析这数据。分析这有什么用？”
刘莫芝说：“有用，下次换其他羊先上去山顶吃草，这样均衡一点。”
对面山上只是在放羊，大家想，在这里议论纷纷，也是闲着找些事情聊聊。
到现在，姜先生还没有通知具体的讨论会地点和时间，太急人了。但是姜先生和老师，都是忙人，神龙见首不见尾，找也不好找。原来出来找他，也是半天联系不上。估计是有事，就在这地方等等。这次老师也比较重视见面，派他过来。很想向姜先生和同行们请教一二。
旁边有两个年轻人在讲话。
茂沫，安圭显得有些激动。“我跟你说说这里的情况。” 安圭亢奋地听着，后来又出现一脸犹豫的神色。
“你太想当然了吧。” 安圭着急地说。 “我要讲讲我的看法。”两人说起话来噼里啪啦，节奏很快，快人快语快性子。“还有一件事。你没看出来这里镇上人的行为。非常奇怪。”他针锋相对地说。“是的，你没看出来？” 安圭脸上是轻蔑的神情。
他们问两个年轻人：“你们在讨论什么呢？也是研究数学的吗？”
“你们看这个没有想到什么吗？” 安圭问他们。
“没有。”
“最先想到的，是最优化。” 安圭说。“最优化有几种常见的方法。1. 梯度下降法：梯度下降法是最早最简单的最优化方法。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是最速下降法。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。2.牛顿法：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。3. 共轭梯度法：共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储的缺点。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。4. 启发式优化方法：启发式方法指人在解决问题时所采取的一种根据经验规则进行发现的方法。启发式优化方法种类繁多，包括经典的模拟退火方法、遗传算法、蚁群算法以及粒子群算法等等。5. 拉格朗日乘数法：作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。”
“那这个羊群到山顶是哪种方法。”展顾约说。
“启发式优化方法。”安圭说。
例如蚁群算法。蚂蚁找到最短路径，主要依靠信息素和环境，假设有两条路可从蚁窝通向食物，开始时两条路上的蚂蚁数量差不多：当蚂蚁到达终点之后会立即返回，距离短的路上的蚂蚁往返一次时间短，重复频率快，在单位时间里往返蚂蚁的数目就多，留下的信息素也多，会吸引更多蚂蚁过来，会留下更多信息素。而距离长的路正相反，因此越来越多的蚂蚁聚集到最短路径上来。这是一种寻优方法。可以找最短路径，也可以找最大值、最小值。
刘莫芝说：“那这些羊有编号吗？”
展顾约说：“可能长得不一样？牧羊人比较熟悉。”
董趋说：“能认出来人我还相信。比如保安认得进出办公楼的人。但是认识羊脸太困难了吧。”
展顾约说：“或者说羊的身上有编号。”
董趋说：“也可能吧。我们站得太远，看不清。可以走近点看看。”
他们沿着山坡上的小路走。
山坡不是太高。过一会就走到羊群的近处。看来确实是贴了牌子，上面标记了数字。
旁边有些树木，还有些电线杆，信号基站。
又走了一段路，到了山顶。看看远处。还有些银杏树、广玉兰树，叶阔荫浓，河流蜿蜒，树林旁有平房和低矮的楼。在淡淡的雾气之下，平静而又优美。
刘莫芝说：“我们就继续沿着小路下山吧。”
展顾约说：“好的。向树林那边走走。”
在一个平房附近，有一块空地。这应该是个农户。
一边是来回移动的犁地机，一边是绕圈旋转的磨盘。犁地机移动，磨盘就转动。好像是一种联动装置。
几个人在旁边，看着犁地机和磨盘的位置。
一个老者很健壮，头上是浅蓝灰色太阳帽，穿一身暗橄榄绿色衣服，下身是一背带裤，腰上系着一条蓝色腰带，脚上是一双老花色布鞋。
一个年轻人身高膀宽，长胳膊长腿，乌黑卷曲的头发。两道扫帚眉，又粗又黑。一双丹凤眼，一个扁鼻子。白净皮肤，挂着一丝笑意。
董趋说：“这是在做农活的吧。一个在犁地，一个推磨盘。”
“看来他们在研究犁地机和磨盘的位置对应关系，说不定是要推导出什么公式。” 展顾约说。
“对呀，公式，我们来到这里，说要开会议，到现在也没什么名堂。” 刘莫芝说。
“他们是研究公式的吧。” 董趋说。
刘莫芝说：“一条直线和一个圆圈的关系？这是什么公式？”
“直线映射到圆，圆映射到直线。” 董趋说。“这像是时间域和复数域。”
Z变换可以将离散时间序列变换为在复频域的表达式。拉普拉斯变换可以将连续时间信号变换为在复数域的表达式。
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。其中一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就可以采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程。
离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，把线性移（时）不变离散系统的时域数学模型—差分方程转换为Z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化。
“他们不是农民吧。我看那年轻人皮肤白皙，也没有在外面经常晒过。” 展顾约说。
“你们这是做什么呢？” 展顾约过去问。
年轻人说，“在这空地上，在一边犁地，一边磨面。”
“这两边是连起来的吗？” 展顾约说。
“对，连在一起，拖拉机拉着犁地，顺便也拉着磨面了。”
“需要这么费劲吗？” 展顾约说。
“做着玩，不过节省一些磨面的时间。”
听起来也有点道理。但是没有见过这么做的。几个人在旁边的麦子场地看看。旁边地里有麦子，玉米，油菜，辣椒等，屋子外也挂着各种粮食蔬菜，是田地农户的风格。
走着走着，看到树下有三个人。
棋奥平铺直叙地说，循少，犁稻侧耳聆听。脸上是惊讶的神色。几个人陶醉在思维的快乐之中。
“我还观察了镇里人的行为踪迹。”他言简意赅地说。循少脸上有点恐惧的神情，犁稻脸上是犹豫的神色。
“你好，你们也是受邀请来开会的吗？”董趋上去打招呼。
“是的，我们是学计算机的。棋奥，循少，犁稻。”
董趋说：“你们在讨论些什么呢？”
“在研究院的未做完的事情，反正现在也没有事，接着工作吧。就是计算机软件方面的事情。”
“我们是展顾约，董趋，刘莫芝。我想有必要和大家都见一下，好好讨论下我们目前的情况。姜先生联系不上。唐先生也不知所踪，不知道有没有危险。” 展顾约说。
棋奥说：“这个圆表示什么？费尔巴哈圆吗？三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆。”
循少说：“我们也找了这磨盘上，没有看出来三角形的印迹。”
如果是费尔巴哈圆，还能联想到西姆松线，从三角形外接圆上一点P向三角形三条边引垂线，三个垂足一定位于一条直线上。这条直线叫做西姆松线。
三点内摆线，以费尔巴哈圆的圆心为圆心，以费尔巴哈圆半径的三倍为半径作一个圆。两圆是同心圆。
看来他们是在寻找和圆形相关的问题。
他又想到前面遇到的两组人。目前知道的来这里开会的人，除了他们3人，还有数学专业的汤领，余承，研究算法的茂沫，安圭，计算机专业的棋奥，循少，犁稻。大家相约，如果有事情讨论，可以到去年唐先生开会的会议室。
展顾约等人吃过早饭，继续走走。远远看去，有座山。
几个人在山上放羊，很多的羊。有几座小山峰，山峰最高处放了几捆鲜嫩的草。山坡上却是草很少。
那几个人就在旁边观察。可能是放羊的人。
展顾约说：“他们在看什么？”
董趋说：“哪群羊可以先到山顶。先到山顶的羊，他们就注视着，然后低头记下来。”
展顾约说：“他们没有低头，一直就是站着的。。”
董趋说：“好吧，如果是我，看着羊爬山，就记下来是哪头先上山顶。”
展顾约说：“放羊不是看着羊吃草吗？看着哪头上山顶，有什么用？”
董趋说：“可能是山顶上草多呗。”
展顾约说：“那他知道是哪只羊先上去的吗？”
董趋说：“这记不住吧，每只羊都长得一样。”
展顾约说：“自己养的羊能分辨出来。”
刘莫芝说：“很多只，快有一百只了，我看。”
董趋说：“这是个农场吧。不用记录谁先上去。”
刘莫芝说：“如果是我，就记下来是哪头先上山顶。毕竟我喜欢分析数据。”
董趋说：“他们又不分析这数据。分析这有什么用？”
刘莫芝说：“有用，下次换其他羊先上去山顶吃草，这样均衡一点。”
对面山上只是在放羊，大家想，在这里议论纷纷，也是闲着找些事情聊聊。
到现在，姜先生还没有通知具体的讨论会地点和时间，太急人了。但是姜先生和老师，都是忙人，神龙见首不见尾，找也不好找。原来出来找他，也是半天联系不上。估计是有事，就在这地方等等。这次老师也比较重视见面，派他过来。很想向姜先生和同行们请教一二。
旁边有两个年轻人在讲话。
茂沫，安圭显得有些激动。“我跟你说说这里的情况。” 安圭亢奋地听着，后来又出现一脸犹豫的神色。
“你太想当然了吧。” 安圭着急地说。 “我要讲讲我的看法。”两人说起话来噼里啪啦，节奏很快，快人快语快性子。“还有一件事。你没看出来这里镇上人的行为。非常奇怪。”他针锋相对地说。“是的，你没看出来？” 安圭脸上是轻蔑的神情。
他们问两个年轻人：“你们在讨论什么呢？也是研究数学的吗？”
“你们看这个没有想到什么吗？” 安圭问他们。
“没有。”
“最先想到的，是最优化。” 安圭说。“最优化有几种常见的方法。1. 梯度下降法：梯度下降法是最早最简单的最优化方法。一般情况下，其解不保证是全局最优解，梯度下降法的速度也未必是最快的。梯度下降法的优化思想是用当前位置负梯度方向作为搜索方向，因为该方向为当前位置的最快下降方向，所以也被称为是最速下降法。最速下降法越接近目标值，步长越小，前进越慢。2.牛顿法：牛顿法是一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。方法使用函数f(x)的泰勒级数的前面几项来寻找方程f(x) = 0的根。牛顿法最大的特点就在于它的收敛速度很快。3. 共轭梯度法：共轭梯度法是介于最速下降法与牛顿法之间的一个方法，它仅需利用一阶导数信息，但克服了最速下降法收敛慢的缺点，又避免了牛顿法需要存储的缺点。其优点是所需存储量小，具有步收敛性，稳定性高，而且不需要任何外来参数。4. 启发式优化方法：启发式方法指人在解决问题时所采取的一种根据经验规则进行发现的方法。启发式优化方法种类繁多，包括经典的模拟退火方法、遗传算法、蚁群算法以及粒子群算法等等。5. 拉格朗日乘数法：作为一种优化算法，拉格朗日乘子法主要用于解决约束优化问题，它的基本思想就是通过引入拉格朗日乘子来将含有n个变量和k个约束条件的约束优化问题转化为含有（n+k）个变量的无约束优化问题。拉格朗日乘子背后的数学意义是其为约束方程梯度线性组合中每个向量的系数。”
“那这个羊群到山顶是哪种方法。”展顾约说。
“启发式优化方法。”安圭说。
例如蚁群算法。蚂蚁找到最短路径，主要依靠信息素和环境，假设有两条路可从蚁窝通向食物，开始时两条路上的蚂蚁数量差不多：当蚂蚁到达终点之后会立即返回，距离短的路上的蚂蚁往返一次时间短，重复频率快，在单位时间里往返蚂蚁的数目就多，留下的信息素也多，会吸引更多蚂蚁过来，会留下更多信息素。而距离长的路正相反，因此越来越多的蚂蚁聚集到最短路径上来。这是一种寻优方法。可以找最短路径，也可以找最大值、最小值。
刘莫芝说：“那这些羊有编号吗？”
展顾约说：“可能长得不一样？牧羊人比较熟悉。”
董趋说：“能认出来人我还相信。比如保安认得进出办公楼的人。但是认识羊脸太困难了吧。”
展顾约说：“或者说羊的身上有编号。”
董趋说：“也可能吧。我们站得太远，看不清。可以走近点看看。”
他们沿着山坡上的小路走。
山坡不是太高。过一会就走到羊群的近处。看来确实是贴了牌子，上面标记了数字。
旁边有些树木，还有些电线杆，信号基站。
又走了一段路，到了山顶。看看远处。还有些银杏树、广玉兰树，叶阔荫浓，河流蜿蜒，树林旁有平房和低矮的楼。在淡淡的雾气之下，平静而又优美。
刘莫芝说：“我们就继续沿着小路下山吧。”
展顾约说：“好的。向树林那边走走。”
在一个平房附近，有一块空地。这应该是个农户。
一边是来回移动的犁地机，一边是绕圈旋转的磨盘。犁地机移动，磨盘就转动。好像是一种联动装置。
几个人在旁边，看着犁地机和磨盘的位置。
一个老者很健壮，头上是浅蓝灰色太阳帽，穿一身暗橄榄绿色衣服，下身是一背带裤，腰上系着一条蓝色腰带，脚上是一双老花色布鞋。
一个年轻人身高膀宽，长胳膊长腿，乌黑卷曲的头发。两道扫帚眉，又粗又黑。一双丹凤眼，一个扁鼻子。白净皮肤，挂着一丝笑意。
董趋说：“这是在做农活的吧。一个在犁地，一个推磨盘。”
“看来他们在研究犁地机和磨盘的位置对应关系，说不定是要推导出什么公式。” 展顾约说。
“对呀，公式，我们来到这里，说要开会议，到现在也没什么名堂。” 刘莫芝说。
“他们是研究公式的吧。” 董趋说。
刘莫芝说：“一条直线和一个圆圈的关系？这是什么公式？”
“直线映射到圆，圆映射到直线。” 董趋说。“这像是时间域和复数域。”
Z变换可以将离散时间序列变换为在复频域的表达式。拉普拉斯变换可以将连续时间信号变换为在复数域的表达式。
拉普拉斯变换是工程数学中常用的一种积分变换，又名拉氏变换是一个线性变换，可将一个有参数实数t（t≥ 0）的函数转换为一个参数为复数s的函数。
拉氏变换是将时域信号变为复数域信号，反之，拉氏反变换是将复数域信号变为时域信号。
有些情形下一个实变量函数在实数域中进行一些运算并不容易，但若将实变量函数作拉普拉斯变换，并在复数域中作各种运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，
在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合，都是建立在拉普拉斯变换的基础上的。其中一个主要优点，是可采用传递函数代替常系数微分方程来描述系统的特性。这就可以采用直观和简便的图解方法来确定控制系统的整个特性、分析控制系统的运动过程。
离散时间信号的Z变换是分析线性时不变离散时间系统问题的重要工具，把线性移（时）不变离散系统的时域数学模型—差分方程转换为Z域的代数方程，使离散系统的分析同样得以简化。
“他们不是农民吧。我看那年轻人皮肤白皙，也没有在外面经常晒过。” 展顾约说。
“你们这是做什么呢？” 展顾约过去问。
年轻人说，“在这空地上，在一边犁地，一边磨面。”
“这两边是连起来的吗？” 展顾约说。
“对，连在一起，拖拉机拉着犁地，顺便也拉着磨面了。”
“需要这么费劲吗？” 展顾约说。
“做着玩，不过节省一些磨面的时间。”
听起来也有点道理。但是没有见过这么做的。几个人在旁边的麦子场地看看。旁边地里有麦子，玉米，油菜，辣椒等，屋子外也挂着各种粮食蔬菜，是田地农户的风格。
走着走着，看到树下有三个人。
棋奥平铺直叙地说，循少，犁稻侧耳聆听。脸上是惊讶的神色。几个人陶醉在思维的快乐之中。
“我还观察了镇里人的行为踪迹。”他言简意赅地说。循少脸上有点恐惧的神情，犁稻脸上是犹豫的神色。
“你好，你们也是受邀请来开会的吗？”董趋上去打招呼。
“是的，我们是学计算机的。棋奥，循少，犁稻。”
董趋说：“你们在讨论些什么呢？”
“在研究院的未做完的事情，反正现在也没有事，接着工作吧。就是计算机软件方面的事情。”
“我们是展顾约，董趋，刘莫芝。我想有必要和大家都见一下，好好讨论下我们目前的情况。姜先生联系不上。唐先生也不知所踪，不知道有没有危险。” 展顾约说。
棋奥说：“这个圆表示什么？费尔巴哈圆吗？三角形三边的中点,三高的垂足和三个欧拉点〔连结三角形各顶点与垂心所得三线段的中点〕九点共圆。”
循少说：“我们也找了这磨盘上，没有看出来三角形的印迹。”
如果是费尔巴哈圆，还能联想到西姆松线，从三角形外接圆上一点P向三角形三条边引垂线，三个垂足一定位于一条直线上。这条直线叫做西姆松线。
三点内摆线，以费尔巴哈圆的圆心为圆心，以费尔巴哈圆半径的三倍为半径作一个圆。两圆是同心圆。
看来他们是在寻找和圆形相关的问题。
他又想到前面遇到的两组人。目前知道的来这里开会的人，除了他们3人，还有数学专业的汤领，余承，研究算法的茂沫，安圭，计算机专业的棋奥，循少，犁稻。大家相约，如果有事情讨论，可以到去年唐先生开会的会议室。